Martin Šťovíček se narodil v Praze a do páté třídy hrál hokej v Benátkách nad Jizerou. Poté se přesunul do pražské Slavie, odkud přes Letňany zamířil v létě 2013 do Chomutova. Juniorům hned pomohl k zisku druhého mistrovského titulu v historii klubu, o rok později přispěl k obhajobě a zúčastnil se i Světového poháru juniorů.
Premiéru v áčku Pirátů si útočník žijící v Brandýse nad Labem odbyl 17. prosince 2014 v rámci 36. kola první ligy doma proti Šumperku. Ve dvou zápasech se bodově neprosadil. Během přípravy 2015 naskočil v chomutovském dresu proti Kadani, ale extraligu si poté v sezóně nezahrál. Pravidelně se objevoval v sestavě právě Kadaně, kde 23. září 2015 poprvé bodoval v seniorském hokeji. Na ledě Českých Budějovic snižoval ve 26. minutě na konečných 3:2 pro domácí Motor.
Extraligový debut si Martin Šťovíček odbyl 9. září 2016 v domácím utkání prvního kola s karlovarskou Energií. Na úvodní kanadský bod si musel počkat až do 29. kola a hned se jednalo o gól. V domácím střetnutí s Plzní vyrovnával odchovanec středočeského hokeje ve 42. minutě na 1:1, Piráti nakonec 11. prosince 2016 vyhráli v nastavení.
Sezóna Klub Z G A B TM 2010-11 HC Slavia Praha - MD (E) 9 1 0 1 4 2011-12 nehrál 2012-13 HC Letci Letňany - SD (E) 44 35 21 56 32 2013-14 Piráti Chomutov - jun. (E) 40 6 6 12 6 Piráti Chomutov - jun. (E, p-o) 11 0 1 1 6 2014-15 Piráti Chomutov (1. liga) 2 0 0 0 0 SK Kadaň (1. liga) 2 0 0 0 2 SK Kadaň (1. liga, p-o) 3 0 0 0 0 Piráti Chomutov - jun. (E) 53 21 25 46 36 Piráti Chomutov -jun. (E, p-o) 9 5 5 10 14 2015-16 SK Kadaň (WSM Liga) 49 8 7 15 18 SK Kadaň (WSM Liga, p-o) 4 1 0 1 0 Piráti Chomutov - jun. (E) 4 1 1 2 8 Piráti Chomutov - jun. (E, p-o) 7 5 0 5 8 2016-17 Piráti Chomutov (E) 34 1 1 2 4 Piráti Chomutov (E, p-o) 9 0 0 0 0 SK Kadaň (WSM Liga) 20 3 3 6 0 2017-18 Piráti Chomutov (E) 31 4 3 7 0 Piráti Chomutov (E, p-out) 6 2 1 3 2 SK Kadaň (WSM Liga) 13 4 1 5 10 2018-19 Piráti Chomutov (E) 7 0 0 0 4 Piráti Chomutov (E, p-out) 2 0 2 2 0 Piráti Chomutov (baráž) 10 1 1 2 4 SK Trhači Kadaň (Chance liga) 25 7 8 15 16 HC Slovan Ústí n/L (Chance liga) 17 10 2 12 6 Celkem za Chomutov 101 8 8 14 14 Celkem v extralize 89 7 7 14 10