Jakub Veselý se narodil v Pelhřimově, ale první krůčky na ledě udělal ve Vlašimi stejně jako jeho straší bratr, který rovněž nastupoval za chomutovské áčko. Pod vrcholky Krušných hor zamířil právě ze středočeského klubu o dvě sezóny později než jeho sourozenec a hned pomohl mladšímu dorostu k bronzu na jaře 2015. V následující sezóně nakoukl i do staršího dorostu, který získal stříbro, ovšem v play-off nehrál.
Během sezóny 2018/2019 si vyzkoušel nižší americkou Western States Hockey League, odkud v létě zamířil na zkoušku do Jihlavy. Tam neuspěl, takže ostrý seniorský debut absolvoval až v pirátském A-týmu 7. října 2019 doma s Litoměřicemi. O dva dny později pak v tehdejší ROCKNET ARÉNĚ poprvé skóroval, když vstřelil sedmý z osmi gólů do sítě Poruby.
Sezóna Klub Z G A B TM 2014-15 Piráti Chomutov – MD (E) 34 6 6 12 28 Piráti Chomutov – MD (E, p-o) 5 0 0 0 2 Piráti Chomutov – MD (E, záv. turnaj) 3 0 0 0 0 2015-16 Piráti Chomutov – SD (E) 8 0 3 3 2 Piráti Chomutov – MD (E) 33 26 21 47 40 Piráti Chomutov – MD (E, p-o) 6 4 3 7 18 2016-17 Piráti Chomutov – SD (E) 36 9 16 25 28 Piráti Chomutov – SD (E, p-o) 6 2 0 2 8 2017-18 Piráti Chomutov – jun. (E) 18 0 1 1 6 Piráti Chomutov – SD (E) 17 9 10 19 18 2018-19 San Diego Sabers (WSHL) 50 34 36 70 77 2019-20 Piráti Chomutov (Chance liga) 8 1 0 1 4 Piráti Chomutov – jun. 21 3 8 11 86 Celkem za Chomutov 8 1 0 1 4 Reprezentace: 2015-16 Česká republika U16 6 3 1 4 8