Jakub Kleiner se narodil v Přerově, kde také udělal první hokejové krůčky v tamním klubu se zubrem ve znaku. S osmou třídou hanáckého oddílu si na jaře 2014 zahrál na mistrovství republiky ve Zlíně, kde mladí Zubři skončili pátí.
V létě 2016 se vysoký obránce přesunul do Chomutova, kde jej hlavní trenér A-týmu Vladimír Růžička zařadil na seznam hráčů pro Tipsport extraligu 2018/2019. Na první zápas v dospělém hokej však Jakub Kleiner zatím stále čeká.
Sezóna Klub Z G A B TM 2013-14 HC ZUBR Přerov – MD (E) 12 0 0 0 2 HC ZUBR Přerov – 8. tř. (tur. o mistra) 5 0 0 0 4 2014-15 HC ZUBR Přerov – MD (E) 35 0 3 3 28 HC ZUBR Přerov – MD (E, p-o) 2 0 0 0 2 2015-16 HC ZUBR Přerov – MD (E) 36 4 12 16 50 HC ZUBR Přerov – MD (E, p-o) 2 0 0 0 2 2016-17 Piráti Chomutov – SD (E) 44 1 11 12 30 Piráti Chomutov – SD (E, p-o) 6 0 1 1 6 2017-18 Piráti Chomutov – jun. (E) 32 0 1 1 24 Piráti Chomutov – SD (E) 7 1 1 2 14 Reprezentace: 2017-18 Česká republika U18 7 0 0 0 2