David Putz se narodil v Českých Budějovicích, kde také začínal s hokejem. Jih Čech opustil v létě 2017, kdy zamířil do Žďáru nad Sázavou, takže Kraji Vysočina pomohl ke zlatu na Olympiádě dětí a mládeže. Další medaili přidal hned o rok později, kdy zamířil do Liberce a s tamním dorostem vybojoval mistrovský titul.
Pod Ještědem strávil více než tři sezóny, během nichž si poprvé zahrál i mezi dospělými, když 5. prosince 2020 debutoval v dresu Benátek nad Jizerou v Chance lize během domácího utkání s Havířovem. V patnácti zápasech nebodoval, takže první seniorský gól vstřelil až 15. října 2022 za druholigový Hronov do sítě Tábora.
V té době už zase nastupoval za mládež Českých Budějovic, kam se vrátil zkraje ročníku 2021/2022. V lize juniorů vyhrál kanadské bodování základní části 2022/2023 a skončil druhý v produktivitě play-off. I s jeho pomocí dokráčel Motor zpět do extraligy juniorů a na cestě vyřadil i mladé Piráty, jejichž konto zatížil David Putz čtyřmi góly a pěti asistencemi.
Sezóna Klub Z G A B TM 2016-17 HC Motor České Budějovice – MD (E) 1 0 0 0 0 2017-18 SKLH Žďár nad Sázavou – SD (E) 2 0 0 0 0 SKLH Žďár nad Sázavou – MD (E) 38 11 14 25 62 2018-19 Bílí Tygři Liberec – jun. (E) 1 0 0 0 0 Bílí Tygři Liberec – dor. (E) 34 18 22 40 48 Bílí Tygři Liberec – dor. (E, p-o) 5 1 2 3 8 Bílí Tygři Liberec – dor. (E, záv. turnaj) 2 1 2 3 8 2019-20 Bílí Tygři Liberec – jun. 6 0 0 0 8 Bílí Tygři Liberec – dor. (E) 31 13 16 29 85 2020-21 HC Benátky nad Jizerou (Chance liga) 15 0 0 0 4 Bílí Tygři Liberec – jun. 7 1 0 1 4 2021-22 Bílí Tygři Liberec – jun. (E) 7 0 5 5 2 HC Motor České Budějovice – jun. (E) 30 7 13 20 45 2022-23 HC Wikov Hronov (2. liga) 25 18 16 34 12 HC Wikov Hronov (2. liga, p-out) 1 0 1 1 0 HC Motor České Budějovice – jun. (L) 37 18 41 59 38 HC Motor České Budějovice – jun. (L, p-o) 10 7 13 20 8